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要素を構成する節点数による分類

2次元_1次要素と2次要素3次元_1次要素と2次要素

 有限要素を構成する節点数に応じて、要素形状の頂点のみに節点をもつ「1次要素」と、頂点と頂点の間にも節点をもつ「2次要素」があります。
ここで、頂点と頂点の間にある節点を「中間節点」と呼びます。ちなみに、さらに高次となる3次要素もありますが、実用上はほとんど使われておりません。
 

 1次要素は、直線を表現することしかできませんが、2次要素は曲線が表現できるようになります。これによって、次のような時に精度向上を図ることができますが、節点数が増加すること、辺を曲線で表現すること、のダブル要因で計算時間は大幅に増加します。

形状の再現性比較_01

・ 形状の再現性向上:部品のコーナー部など、丸みを帯びた部品の形状をトレースした有限要素メッシュを作成することができるようになります。
・ 曲げ変形の再現性向上:曲げ変形など、曲線的な変形となる場合に、精度良く変位を再現することができます。

 
 2次要素にすることで、何故、曲線で辺を表現できるようになるのでしょうか?
 有限要素は形状や変位を、要素の内部でだけ成立する関数で表現し、それらの関数は、節点の座標や変位を使って作成しています。
 このとき、1次要素は1つの辺にある節点の数は、各頂点の2点ですが、2次要素は中間節点があるため、1つの辺にある節点の数は3点になります。2点で関数を作成すると、1次関数となり直線で表現することしかできませんが、3点ならば2次関数を作成できるので、曲線が表現できるようになるのです。

 
 有限要素の形状を節点を使ってその変位を表現するためには、形状関数という関数が使われています。
 この関数には、ラグランジュ族の形状関数とセレンディピティ族の形状関数という2種類がよく登場します。ラグランジュ族の形状関数は、ラグランジュ多項式を用いていて、辺上だけでなく、要素の内部にも節点がありますがセレンディピティ族の要素は、辺上の頂点と中間節点で表現できます。
形状関数による節点の差異
 ここまで説明してきた2次要素については、実用的なセレンディピティ族の形状関数を用いた内容としています。