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ばねの要素剛性方程式

 複数のばねが結合されてできたばねモデルを想定して、その中からばね1本の要素だけを抜き出したとき、どこに配置されているばねであるかに関わらず、適用できるような一般的なばね要素の状態を考えてみます。

 ばねの両端に節点1,節点2としたとき、それぞれの節点には荷重fと変位uが生じるので、一般的なばね要素の状態を下の図のように表現してみました。
 荷重や変位が生じない場合もあると思われるかもしれませんが、、、
そんなときは、「無負荷の場合は、0(ゼロ)の荷重を加えた」,「変位を拘束した場合は、0(ゼロ)の変位が生じた」ととらえましょう。
ばねの要素剛性方程式
 
 ばねに荷重が加えられても力が釣り合っているならば、両端には大きさが等しく、それぞれに逆向きの力が加わっているはずなので、(1)のような式になります。
ばねの要素剛性方程式_1

 その時に生じる伸びδはどうなるのでしょうか?
それぞれの節点は、自由に動けるので、(2)式のように節点2の変位u2から節点1の変位u1を引いた差分が伸びになります。

ばねの要素剛性方程式_2

 ばねに生じる伸びは、ばねに加えられる荷重によって生じるのですから、式(1)と式(2)をそれぞれの荷重に対してフックの法則で表現すると、(3)式のようになります。

ばねの要素剛性方程式_3

 この2つの式が、ばねの要素剛性方程式です。
マトリクスで表現すると(4)式のように表せます。

ばねの要素剛性方程式_4