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要素座標系から全体座標系への座標変換

 2次元的に配置されたトラス部材の要素座標系における要素剛性方程式は、要素が複数ある場合には座標系が揃わないのでこれを全体座標系に変換して、全ての要素に対して同じ座標系に揃える必要があります。
 これを図に示すと以下のようになり、各節点の荷重と変位に対して、赤矢印で示した要素座標系から青矢印で示した全体座標系に変換します。

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 変換は、節点 i の荷重と変位,節点 j の荷重と変位の4つの変換に分けることができ、同じ作業の繰り返しとなるので、
節点 i の荷重に対する変換を拡大した図をみながら、実施してみます。

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 要素座標系の荷重を、全体座標系の荷重で示すと(1)式のようになります。
この変換式は丸暗記するのではなく、正しく変換できていることを、図を確認しながら納得するまで理解することがポイントです。

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j 点の荷重に関しても、同様に求めます。 i 点の添え字を j 点に入れ替えるだけで良いので簡単ですね。

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 荷重の変換は、 i 点について変換した(1)式と j 点について変換した(2)式の4つの式で構成されます。これをマトリクス表記に直すと、(3)式のようになります。

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各節点の変位も、荷重の時と同様に求めます。荷重で立てた4つの式に対して荷重を変位に入れ替えるだけなので、これも簡単ですね。

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荷重の時と同様に、変位もマトリクス表記に直すと、(5)式のようになります。

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 これで剛性方程式を、要素座標系から全体座標系へ変換するための式を作成することができました。(3)と(5)のマトリクス表記の式を見てみると、荷重,または変位同士の変換の係数になっているマトリクスは、sinθとcosθで構成されて同じ内容になっています。
 この係数マトリクスを、「座標変換マトリクス」と呼び、今後 [T] で表します。