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2次元全体座標系におけるトラス部材の要素剛性方程式

これまでに2次元的なトラス構造に図のような角度θだけ傾いたトラス部材に対して
要素座標系における要素剛性方程式(1)と、荷重と変位の全体座標系への変換式(2)(3)を立ててきました。
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マトリクス内の成分を表示した数式は煩雑になってしまうので、まずはこれらのマトリクスの数式を(4)(5)(6)のように簡潔に示すこととします。

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但し、各マトリクスの成分は以下とします。

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今度は、これらの数式を使って、要素座標系から全体座標系の要素剛性方程式に変換していきます。要素座標系の剛性方程式(4)を座標変換の数式で操作するだけで変換できますのでやってみましょう。
 まずは要素座標系の荷重と変位を変換式(5)(6)式を(4)式に代入して(7)式にします。そして右辺の座標変換マトリクスを左辺に移すために、両辺の左側から座標変換マトリクスの逆マトリクスを乗じて(8)式にします。すると右辺は、座標変換マトリクスとその逆マトリクスの乗算で単位マトリクスとなるので消去できて(9)式になります。

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 最後に左辺の座標変換マトリクスと要素座標系の要素剛性マトリクスの乗算は、全て与えられた条件でできた定数なので、それを(10)のように全体座標系の要素剛性マトリクス[K]とおいてしまえば、全体座標系の荷重と変位の関係を示す要素剛性方程式(11)が導かれます。

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これで、要素剛性方程式を要素座標系から全体座標系へ変換することができました。
荷重と変位の座標変換の数式が出来ていれば、簡単に変換することができますね。