ナレッジベース

歪み-変位関係式

 弾性力学の支配方程式のふたつめは『歪み-変位関係式』です。
歪み-変位関係式は「垂直歪み」と「せん断歪み」の2つの歪みが、微小な立方体の頂点の変位によってどのように表わされるかを考えることで式がたてられます。

 まずは垂直方向の変位成分とその歪みについて考えてみます。
『力の釣り合い方程式』の時と同様に、3次元で考えると煩雑になってしまうので、x-y平面を取り出してx方向の変位と歪みについてのみ考えていきたいと思います。

 この微小な立方体の平面は、X方向,Y方向に一様な伸びや縮みが発生していると考えたとき、X方向の垂直歪みは、P,XがP’,X’へ変位した時の、変形によって決定すると考えられます。
その考え方に基づき、図中の点P,Xの座標とその変位を使って、垂直歪みを算出してみましょう。

まず、P,X点の座標と、変位したあとのP’,X’点の座標を表わしてみると以下のように表されます。
 

 
 ここで、P’,X’のx方向の変位は、元の点のx座標にX方向の変位を加えた形として表現します。これを用いて、P’-X’の長さを座標から求めると、(1)のように表すことができます。
 

 
 これらを用いてx方向の歪みを表わすと、(2)のようにx方向の変位をx方向で偏微分することで歪みを表せることが分かります。
 

 
 y方向,z方向についてもx方向と同様に(3)のように表せます。
 

 
 
 次に、せん断歪みについて考えます。
垂直歪みのときに考えたx-y平面で、さらにせん断変形が加わった時の状態を示してみます。
 

 
 微小な立方体の平面は垂直方向の変形に加えて、P’点を中心としてX’はX”に、Y’はY”へ回転したせん断変形が加わり、そのせん断変形は、P’X’,P’Y’のそれぞれに生じた角度変化θxとθyの和で表わすことができます。
 どちらを導くのも同じ手順なので、x-y平面に生じるP’X’からP’X”への変形で生じた角度変化θxについて考えてみましょう。
 
 今度は角度変化が知りたいので、P’-X’のX’がどのくらいY方向に変位してX”まで移動したかを知り、傾きを求める必要があります。そこで、P’,X”の座標を表わしてみます。
 

 
 これを用いて、P’-X”の傾きを求めれば、それが(4)のようにθxとなります。
同様の手順でθyについても求めることができます。
 

 
 よってx-y平面のせん断歪みは、(5)のようにy方向の変位をx方向で偏微分した値とx方向の変位をy方向で偏微分した値の和で表わせます。
 

 
 y-z平面,z-x方向についてもx方向と同様に(6)のように表せます。
 

 
 
以上の(2)(3)(5)(6)で示される6式が、「歪み-変位関係式」となります。