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応力-歪み関係式

 弾性力学の最後の支配方程式は、『応力-歪み関係式』です。
応力-歪み関係式は、「垂直応力」と「せん断応力」の2種類の応力が、微小な立方体に生じる変形を考え、歪みを使って式をたてていきます。
 
 まず、微小な立方体がx方向にのみ引張応力が加わる場合を想定してみましょう。

 その時立方体は、x方向に伸びて歪みが生じます。と同時に、x方向に伸びた分、y方向,z方向には縮んでいるはずです。このように、1つの方向に歪みが生じるように負荷を加えた場合でも、3軸全ての方向に歪みが生じるのでそれに対応した応力について考える必要がでてきます。
 
 ではこの時の応力と歪みの関係を数式で表してみましょう。
x方向の応力と歪みの関係は、フックの法則から(1)のように簡単に求まりますね。

y方向とz方向については、ポアソン比を使ってx方向に生じた引張応力をy方向,z方向の応力に書き換えます。
ポアソン比は、「引張って伸ばすとその分縮む」という「ポアソン効果」がどのくらいの比率で生じるかを表わした数値で、縦方向の歪みと横方向の歪みの比率にマイナスをかけた値となります。この比率を利用すれば、(2)のように引張方向の応力を用いて、横歪みを表現することができます。

(2)の式をy方向,z方向それぞれに適用すれば(3)のように表せます。

 
 ここまでx方向に力が加わる場合を考えてきましたが、立方体に加わる力は3方向それぞれに加わる可能性がありますので、y方向,z方向についても同様な3つの式で表わされます。
これを各方向の歪みごとに重ね合わせて一般化すると、(4)式となり、垂直方向応力の
『応力-歪み関係式』となります。

 
 では、微小な立方体にせん断応力が加わる場合はどうなるのでしょうか?
せん断方向に負荷が加わる場合は、他のせん断歪みに影響を及ぼすことがないので(5)のようにフックの法則から導かれる式をそのまま利用することができます。

以上の(1)(4)(5)で示される6式が、「応力-歪み関係式」となります。